為何需要變異數分析(ANOVA)

1 統計檢定的概念
1) 在講義的案例，因子仰角A有3個水準(A₁，A₂，A₃)，想了解這3個水準對射程有無影響，在統計學的觀點上，若在這三個水準實施無限次數實驗，則各水準的觀測值將為常態分佈，分別為N(μ_A1,σ_A1²)，N(μ_A2,σ_A2²)，N(μ_A2,σ_A3²)
2) 傳統的統計學上要進行3個常態分佈群體，必須檢定，非常繁複費時
    (1) 是否等變異數：使用F檢定，共檢定A₁-A₂，A₁-A₃，A₂-A₃三次
    (2) 是否平均值相等：基於(1)的結果，使用t檢定共需檢定A₁-A₂，A₁-A₃，
         A₂-A₃三次
3) 因此Fisher提倡以ANOVA分析較為簡單

2 傳統檢定二組母變異的作法
1) 實驗數據

	仰角A	射程(y)
	30	220.34	220.99	224.43	222.21
	40	252.55	250.72	246.89	248.34
	50	249.62	250.51	248.75	246.91

2) 是否等變異數
    此處只計算仰角30與40二組母變異
    (1) 統計假設：
         H₀：σ_A1² = σ_A2²
         H₁：σ_A1² ≠ σ_A2²
    (2) 計算 F 統計量
         利用Excel分析工具箱中的 "F 檢定：兩個常態母體變異數的檢定"結果為

		30	40
	平均數	221.9939	249.6248
	變異數	3.249516	6.299752
	觀察值個數	4	4
	自由度	3	3
	F	0.515816
	P(F<=f) 單尾	0.300163
	臨界值：單尾	0.107798

         因為本題H₁是不等故為雙尾檢定，因此
         P-value=2×0.300163=0.600326，因為大於5%，所以判定不能否定H₀
   (3) 同理檢定 H₀：σ_A1² = σ_A3²  H ₁：σ_A1² ≠ σ_A3² 結果
        P-value=2×0.399848=0.797696，因為大於5%，所以判定不能否定H₀
   (4) 同理檢定H₀：σ_A2² = σ_A3²   H₁：σ_A2² ≠ σ_A3² 結果
        P-value=2×0.220971=0.441942，因為大於5%，所以判定不能否定H₀

3 使用ANOVA的結果數據分析
1) ANOVA分析

	變源	SS	自由度	MS	F	P-值	臨界值
	A	66792.36	4	16698.09	1462.92	7.45E-08	5.192168
	e	57.07109	5	11.41422
	T	66849.43	9

   因為P-value很小，因子A的水準間差異有非常的顯著性，也就是原假設
   H₀：μ_A1 =μ_A2 = μ_A3   被推翻 ，因此必須進行多重比較
2) 多重比較分析

	Ho	μi - μj= d	p-value
	μ40-μ30=0	27.63	0
	μ50-μ30=0	26.95	0
	μ50-μ40=0	-0.68	0.6422